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4.2 基準値と偏差値  ~数学90点と国語90点はどちらがすごい?~

数学の90点と国語の90点


 マコトとユウスケは数学と国語のテストの結果を見せあいました。マコトは数学が90点、ユウスケが90点でした。

マコト:国語よりも数学の方が平均点が低かったことは、数学の方が難しかったってことだよ。僕の90点の方がすごくはずだ。

ユウスケ:そんなことないよ。同じ点なんだから引き分けだよ。



 マコトとユウスケは喧嘩になり、莉子の意見を聞きにいきました。


莉子:2人とも頑張ったわね。どちらにも価値がある点よ。

ユウスケ:それじゃ駄目だよ。しっかり判定してくれなくちゃ。

莉子:う~ん。判定できるかしら・・・。



平均と標準偏差


先生:2人とも優秀だね。優劣をつけるなら、次の2つの視点でみる必要があるよ。まず平均点だ。平均点が低い科目で高得点をとった方がすごいことはわかるよね。

マコト:うんうん。数学の方が難しかったんだよ。

先生:つまり平均からみれば、マコト君の勝ちだ。

マコト:やった♪

先生:まだ早いよ。仮に平均が同じだったらどうだろう。

ユウスケ:引き分けじゃないかな。

先生:そうとは限らない。標準偏差を考える必要があるんだ。標準偏差が小さいということは、みんなが似たり寄ったりの点数ってことだ。そこで高得点を取るのは難しいはずだ。つまり、標準偏差からみれば、ユウスケ君の勝ちだ。

ユウスケ:やった♪

先生:つまり平均点が低く、標準偏差が小さい科目で高得点をとるのが一番評価が高くなるってわけだ。

莉子:平均点からみればマコト君、標準偏差からみればユウスケ君ってことは、結局どっちの評価が高いのかしら?

先生:それは計算してみないとわからないな。平均値や標準偏差が異なるデータを比較する場合は、データの尺度をそろえてあげる必要がある。つまり基準化(標準化)という方法を用いるんだ。基準化された値は基準値(ノーマライズスコア)と言って、この値で比較すれば問題は解決だ。基準値に関連する偏差値についても一緒に学んでおこう。

偏差値とは


 次の表は5点満点の小テストの結果です。5人の生徒の基準値と偏差値を求めなさい。

基準値を求める公式を下記に示しました。


公式に従い、基準値を計算してみましょう。

 

 基準値が求められました。基準値の平均値は必ず0、標準偏差は必ず1になります。

基準値をさらに調整し、平均が50、標準偏差が10になるようにした値が偏差値です。



偏差値が求められました。5点をとった生徒の基準値は1.2、偏差値は62であることがわかりました。求められた基準値の平均値は0、標準偏差が1、偏差値が50、標準偏差が10になることを実際に計算して確認しておくとよいでしょう。

偏差値の求め方


平均値を計算します。

標準偏差を計算します。

③平均値と標準偏差から基準値を計算します。

④基準値から偏差値を計算します。


テストの基準値と偏差値


先生:基準値と偏差値の求め方がわかったよね。

マコト:僕らも計算してみたよ。

莉子:基準値で比較すると、数学は1.5、国語は2.0だから、国語で90点をとったユウスケ君の評価が高いってことね

先生:そうだね。もちろん偏差値で見ても結果は同じだよ。

マコト:残念・・・。


Excelによる基準値の計算


 基準値はExcel関数を使えば簡単に求めることができます。意味を理解できたら、あとはExcelを使って計算しましょう。


基準値 =STANDARDIZE(データ、平均値、標準偏差)

※平均値、標準偏差はあらかじめ求めておく必要があります。


ワンポイント

打率とホームラン数の足し算


 基準値(偏差値)を用いれば、単位が異なるデータを足し算することが出来ます。例えば、打率とホームラン数を基準値に直して足し算することで、選手の打力成績を比較するひとつの指標を作ることができます。

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