◆母分散と比較値の差の検定◆

母分散と比較値の差の検定の概要

母分散と比較値の差の検定は、1項目(1群)のデータの標本分散と解析者が指定する比較値から、母分散が比較値と異なるかを検証する検定方法である。
母分散の検定は母集団におけるデータが正規分布である場合に適用できる。

母分散の検定は次の手順によって行う。
①帰無仮説を立てる
 母分散は比較値と同じ

②対立仮説を立てる
 次の3つの内のいずれかにする
 ・母分散は比較値より大きい
 ・母分散は比較値より小さい
 ・母分散は比較値と異なる

③両側検定、片側検定を決める
 対立仮説によって自動的に決まる
 対立仮説:母分散は比較値より大きい → 片側検定(右側検定)
      母分散は比較値より小さい → 片側検定(左側検定)
 対立仮説:母分散は比較値と異なる  → 両側検定

④検定統計量を算出
検定統計量は帰無仮説の基に自由度n-1のχ2分布(カイ2乗分布)にしたがう。

⑤p値を算出

⑥有意差判定
p値<有意水準0.05 (5%)
帰無仮説を棄却し対立仮説を採択 → 有意差があるといえる。
有意水準は通常5%を適用するが1%を用いることもある。
有意水準0.05と0.01から有意差判定を次のように行うこともある。
      p値<0.01     [**]  有意水準1%で有意差がある
   0.01≦p値<0.05      [* ]  有意水準5%で有意差がある
      p値≧0.05           [  ]  有意差があるといえない
母分散と比較値の差の検定の結果

【具体例】
 ある機械の部品の新製法が開発された。その製法によって作られた部品からランダムに11個を取り出し、重量の標準偏差を計算したところ、42gだった。基準としている重量の標準偏差は30gである。
 次の3つの仮説検証について検定せよ。
 母集団における部品データは正規分布であるとする。
(1)新製法によって重量のバラツキが30gより大きくなったといえるかを調べよ。
(2)新製法によって重量のバラツキが30gより小さくなったといえるかを調べよ。
(3)新製法によって重量のバラツキは30gと異なるかを調べよ。

【検定結果】
 (1)対立仮説:重量のバラツキは30gより大きい → 右側検定を適用 
        
   p値 0.0333<有意水準0.05
   重量のバラツキは30gより大きいといえる

 (2)対立仮説:重量のバラツキは30gより小さい → 左側検定を適用 
        
   p値 0.9667>有意水準0.05
   重量のバラツキは30gより小さいといえない

 (3)対立仮説:重量のバラツキは30gと異なる → 両側検定を適用 
        
   p値 0.0665>有意水準0.05
   重量のバラツキは30gと異なるといえない
母分散と比較値の差の検定の検定統計量はχ2分布になることを検証

ある機械の部品の新製法が開発された。その製法によって作られた部品が10,000個ある。10,000個の部品を母集団とする。母平均は100g、母標準偏差は30g、母分散900g2である。
                       

母集団は正規分布である。
検定統計量の算出

母集団(10,000個の部品)から11個をランダムに抽出する調査を実施し、標準偏差、検定統計量を算出した。ただし検定統計量算出式に用いる比較値は母分散900g2とする。この調査を2,000回行い2,000個の検定統計量を求めた。
<計算例> 調査No1の検定統計量
標準偏差で与えられている値を分散に直す
比較値=900 標本分散=612
2,000回の標本調査の検定統計量を示す。
      
検定統計量の度数分布を作成した。
     
度数分布のグラフを描いた。
度数分布は自由度n-1=10のカイ2乗分布(χ2分布)になる。
検定統計量は、帰無仮説「部品重量の母分散は900g2である」という仮説のもとにχ2分布になる。

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