◆母分散の比の検定◆

母分散の比の検定の概要 

母分散の比の検定は、2項目(2群)のデータの標本分散から、母集団における2項目(2群)の分散は異なるかを検証する検定方法である。
母分散の比の検定は母集団におけるデータが正規分布である場合に適用できる。

母分散の比の検定は次の手順によって行う。
2項目(2群)をA、Bとする。
①帰無仮説を立てる
母分散Aと母分散Bは同じ

②対立仮説を立てる。
次の3つの内のいずれかにする。
・母分散Aは母分散Bより大きい 
・母分散Aは母分散Bより小さい
・母分散Aと母分散Bは異なる 

③ 両側検定、片側検定を決める。
対立仮説によって自動的に決まる。
対立仮説:母分散Aは母分散Bより大きい → 片側検定(右側検定)
     母分散Aは母分散Bより小さい → 片側検定(左側検定)
対立仮説:母分散Aと母分散Bは異なる    → 両側検定

④検定統計量を算出
検定統計量は帰無仮説の基に自由度f1=n1-1、f2=n2-1の   F分布にしたがう。
1はA群のサンプルサイズ、n2はB群のサンプルサイズである。

⑤p値を算出

⑥有意差判定
p値<有意水準0.05 (5%)
帰無仮説を棄却し対立仮説を採択 → 有意差があるといえる。
有意水準は通常5%を適用するが1%を用いることもある。
母分散の比の検定の結果

具体例】
ある学校において、ランダムに男子17人、女子15人を選び、1年間の2重飛びの標準偏差を調べたら4回、8回だった。
次の3つの仮説検証について検定せよ。
全生徒の2重飛びのデータは正規分布であるとする。
(1)2重飛びのバラツキは、男子の方が女子より大きいかを調べよ。
(2)2重飛びのバラツキは、男子の方が女子より小さいかを調べよ。
(3)2重飛びのバラツキは、男子と女子は異なるかを調べよ。

【検定結果】
(1)対立仮説:男子の方が女子より大きい → 右側検定を適用 
   
   p値 0.9952>有意水準0.05
   2重飛びのバラツキは、男子の方が女子より大きいがいえない。

(2)対立仮説:男子の方が女子より小さい →  左側検定を適用 
   
  p値 0.0048<有意水準0.05
  2重飛びのバラツキは、男子の方が女子より小さいがいえる。

(3) 対立仮説:男子と女子は異なる → 両側検定を適用 
   
  p値 0.0097<有意水準0.05
  2重飛びのバラツキは、男子と女子は異なるがいえる。
母分散の比の検定の検定統計量はF分布になることを検証 

あるエリアの中学生全生徒数は男子10,000人、女子10,000人である。縄跳びの2重飛び回数の標準偏差は男子6回、女子6回で同じである。
全生徒のデータを示す。
  
母集団は正規分布である。
検定統計量の算出

母集団男子10,000人から17人、女子10,000人から15人をランダムに抽出する調査を実施し、標準偏差、検定統計量を算出した。この調査を1,000回行い1,000個の検定統計量を求めた。
【計算例】調査No1の検定統計量
標準偏差で与えられている値を分散に直す
男子 標本標準偏差=5.2 標本分散=27.0
女子 標本標準偏差=5.6 標本分散=31.4
検定統計量=男子標本分散/女子標本分散=27.0/31.4=0.86
1,000回の標本調査の検定統計量を示す。
検定統計量の度数分布を作成した。
度数分布のグラフを描いた。
自由度16,14のF分布を描いた。
度数分布は自由度16、14のF分布に一致する。
検定統計量は、「男子分散と女子分散は等しい」という帰無仮説のもとにF分布になる。

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