◆z検定◆

z検定の概要 

データは数量データとカテゴリーデータに大別されるが、z検定は数量データに適用できる手法である。
z検定は、p値による有意差判定と母平均差分の信頼区間から構成される。
p値による有意差判定とは、2つの母集団から無作為抽出したサンプルの標本平均と母集団標準偏差から、その2つ(2群)の母平均が等しいと言えるかをp値によって調べる方法である。
母平均差分の信頼区間とは、標本平均の差分が母集団の差分であると言い切るのは危険であるので標本平均の差分に幅をもたせて推定する方法である。
z検定は下記条件の基に帰無仮説が正しいと仮定した場合に、サンプルの標本平均と母集団標準偏差から計算された検定統計量がz分布(標準正規分布)に従うことを利用する統計学的検定法である。
母集団の正規性については、t検定同等この検定も頑健だといわれている。それは、サンプルサイズが十分大きければ母集団が正規分布でなくとも検定統計量はz分布に近づくからである。「サンプルサイズが十分大きい」の目安は30で、2群合わせると60である。
言い換えれば2群合わせたサンプルサイズが60以上であれば母集団が正規分布でなくてもz検定は適用できるということである。
サンプルサイズが60に満たない場合の母平均の差の検定はノンパラ検定を適用する。
p値による有意差判定の手順
①帰無仮説を立てる
 群1の母平均と群2の母平均値は同じ

②対立仮説を立てる
 次の3つの内のいずれかにする
(1)群1の母平均は群2の母平均より大きい 
(2)群1の母平均は群2の母平均より小さい
(3)群1の母平均と群2の母平均は異なる 

③両側検定、片側検定を決める
 対立仮説によって自動的に決まる
  対立仮説(1) → 片側検定(右側検定)
  対立仮説(2) → 片側検定(左側検定)
  対立仮説(3) → 両側検定

④検定統計量を算出

⑤p値の算出
検定統計量は帰無仮説が正しいと仮定した場合にz分布に従う。
z分布において、横軸の値が検定統計量であるときの上側の面積をp値という。
片側検定におけるp値はz分布における検定統計量の上側確率である。 
両側検定におけるp値はz分布における検定統計量の上側確率の2倍。 

⑥p値による有意差判定
片側検定(右側検定、左側検定)、両側検定いずれも
p値<有意水準0.05
帰無仮説を棄却し対立仮説を採択 有意差があるといえる。
p値≧有意水準0.05
対立仮説を採択できず、有意差があるといえない。
※ 有意水準は0.05が一般的であるが、0.01を適用することもある。
※ 有意差判定を次で示すこともある。
       p値<0.01  [**]  有意水準1%で有差がある
    0.01≦p値<0.05  [* ]  有意水準5%で有意差がある
       p値≧0.05  [   ]  有意差があるといえない
母平均差分の信頼区間の手順
信頼区間を次式よって算出する。
標準誤差は「p値による有意差判定」の手順④で示した式で求められる値である。
棄却限界値は信頼度95%(有意水準5%)における定数である。
z分布において、上側と下側を合わせた確率が0.05(5%)となる横軸の値が棄却限界値である。z分布の場合、1.96である。
信頼区間を適用しての有意差検定を行う
<ケース1>
信頼区間が0をまたがらない
比較する2群の母平均値は異なる。 
<ケース2>
信頼区間が0をまたがる
比較する2群の母平均値は異なるといえない。
 z検定の結果

【具体例】
ブランド米AとBについて、稲穂一株の粒数に違いがあるかを調べるために、各々121株、144株を無作為に抜き、粒数を調査した。
粒数平均値はブランドAが104.5粒、ブランドBは102.2粒である。
稲穂一株の粒数はブランドAとブランドBで異なるかを調べよ。
ただし、母集団の標準偏差は8粒であることが分かっている。

・ブランド米Aとブランド米Bの比較なので対応のないデータである。
・サンプルサイズはn1+n2=265で60より大きい。
・母集団における母集団標準偏差は各々8粒で既知である。
・対立仮説は、稲穂一株の粒数はブランドAとブランドBで異なる。
上記より、具体例はz検定の両側検定で行う。
【検定結果】
<1> p値による有意差判定
p値<0.05より、
稲穂一株の粒数はブランドAとブランドBで異なるがいえる。

<2> 母平均差分の信頼区間
ブランドAとブランドBの粒数平均差分の信頼区間は、信頼度95%で、1.09粒~3.51粒の間にあるといえる。
信頼区間は0をまたがらないので、稲穂一株の粒数はブランドAとブランドBで異なるがいえる。

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